ســـلـــســـلــة الـــريـــــــاضـــيــــاتـــ

الرياضيّات

الرياضيّات نظام للتفكير المنظّم يتّسع تطبيقه باستمرار. وهو علم الدراسة المنطقية لكم الأشياء وكيفها وترابطها, كما أنه علم الدراسة المجردة البحتة التسلسلية للقضايا والأنظمة الرياضية.
وَللرياضيّات ثلاثة أوجه رئيسيّة (الجبر والهندسة والتحليل):

فتركيب مجموعات الأجسام وضمّ بعضها إلى البعض الآخر أدّى إلى مفاهيم العدد والحساب والجبر؛ بينما أدّى الإهتمام بقياس الزمان والمكان إلى الهندسة وعلم الفلك ومفهوم التسلسل الزمني. أما المجهود المبذول لفهم فكرتيّ الاستمرار والحدّ فقد أدّى إلى التحليل الرياضي وإلى اختراع الحسابين التفاضلي والتكاملي في القرن السابع عشر. هذه الأوجه الثلاثة للرياضيّات تتداخل إلى حدّ كبير.

الحساب

يشمل دراسة الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد العشرية وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. وهو بمثابة الأساس لأنواع الرياضيات الأخرى حيث يقدم المهارات الأساسية مثل العد والتجميع الأشياء والقياس ومقارنة الكميات.
برزت اهمية معدّلات التغيّر في الفيزياء عام 1638، عندما وجد غاليليو (1564 ـ 1642) ان سرعة جسم يهبط في الفضاء أو يُرمى به فيه، تزداد باطّراد، أي أن معدّل ازدياد سرعة الجسم إلى أسفل هو ثابت . لكن ما هو مسار ذلك الجسم؟ حُلّت هذه المسألة بوضوح ونهائياً بفضل عبقرية اسحق نيوتن (1642 ـ 1727) وغوتفريد ليبنتز (1646 ـ 1716)، وكان حساب التفاضل والتكامل الذي اكتشفاه، الأداة المستعملة لهذا الغرض. حساب التفاضل والتكامل يعطي طرائق الحصول على التسارع انطلاقاً من السرعة، وعلى السرعة انطلاقاً من الموقع، موفراً الحل الدقيق للمسألة بكاملها.
في الميكانيكا، وهي فرع الفيزياء الذي وضع حساب التفاضل والتكامل من أجله، نجد هذا النوع من الحساب في جميع نواحي قانون نيوتن الثاني للحركة: القوة تساوي حاصل ضرب الكتلة بالتسارع. فإذا كانت اثنتان من هذه الكميات الثلاث معروفتين، فالمعادلة تكشف فوراً قيمة الثالثة.

الجبر

خلافاً للحساب, فالجبر لا يقتصر على دراسة أعداد معينة, إذ يشمل حل معادلات تحوي أحرفاً مثل س وص, تمثل كميات مجهولة. كذلك يستخدم في العمليات الجبرية الأعداد السالبة والأعداد الخيالية (الجذور التربيعية للأعداد السالبة).
في علم الحساب، تُمثَّل بالأعداد مختلف الكميات، كالاطوال والمساحات ومبالغ المال. إلا أن بعض المسائل الرياضية تهتم بالبحث عن عدد يمثّل كمية مجهولة. إذا كان مثلاً مجموع عددين 10 وكان احدهما 6، فما هو العدد الآخر؟ الجواب على هذه المسألة البسيطة هو 4. إلا أن أصول العثور عليه تقنة اساسية من تقنات الجبر. لحل هذه المسألة في علم الجبر، نمثّل العدد المجهول بحرف س ونقول: لدينا س+ 6= 10 (هذه معادلة جبريّة)؛ بطرح 6 من كلا الطرفين تتبسّط المعادلة: س= 10- 6= 4. فبِجَعل الحرف س يمثّل الكمية المجهولة، تمكنّا من حل المسألة.
الرياضيون الاغارقة والعرب:
استعمل رياضيون اغارقة، ومنهم ديوفانتوس (القرن الثالث ق.م.)، الأحرف في المعادلات. لكن كلمة الجبر اتت من العربية. ومعناها تجبير العظام، وقد جاءت جزءاً من عنوان كتاب للرياضي العربي الكبير الخوارزمي. بحلول القرن السادس عشر أصبحت المسائل الرياضية تصاغ في الغرب بتعابير جبريّة. وقد بدأ بذلك في فرنسا فرنسيسكوس فياتا (1540 ـ 1603) . ثم ادخل الرياضي الفرنسي رينيه ديكارت (1596 ـ 1650) الاصطلاح الذي اصبح شائعاً لاستعمال الأحرف الأخيرة من الابجدية اللاتينية (X, Y, Z) للدلالة على الكميات المجهولة، والاحرف الأولى (a, b, c) للحلول محل الاعداد المعلومة.

المعادلات والصيغ الجبرية:

تطبّق عملياً المعادلات الجبرية العاديّة في الصيغ المختلفة المستعملة في العلوم، ولا سيما في الرياضيات والفيزياء. فحجم الاسطوانة مثلاً يعطى بالمعادلة: ح= ؟ ش 2 ر، حيث ح تمثّل حجم الاسطوانة و ش شعاع احدى قاعدتها و ر ارتفاعها.
تعالج المعادلات والصيغ الجبرية حسب قواعد ثابتة. فبالامكان مثلاً تغيير المعادلة السابقة لمعرفة ارتفاع اسطوانة ذات حجم معيّن إلى المعادلة: ر= ح/؟ش 2. هذه الصيغ هي عامة، وتطبّق على جميع الاسطوانات، سواء كانت طويلة ورفيعة أو قصيرة وثخينة. هنالك صيغ مماثلة لمساحات جميع الاشكال الهندسية العادية واحجامها.
كثير من المسائل الجبرية تحتوي على أكثر من كمية مجهولة واحدة. لنأخذ مثلاً مسألة اكتشاف عددين موجبين يكون حاصل ضربهما 15 وباقي طرحهما 2. لنمثّل العددين بالحرفين س و ص، ولنترجم المعطيات بالمعادلة: س× ص= 15. لهذه المعادلة عدة حلول: 6×2,5 أو، 3 و 5؛ 7,50 و 2 الخ. لاجراء العملية علينا استعمال المعطيات الأخرى حول «الفرق»، فنحصل على المعادلة: ص- س= 2. لكي نعرف قيمة ص، نحوّل هذه المعادلة إلى: ص= س+ 2 ثم نستبدل قيمة ص هذه في المعادلة الأولى، فنصل إلى المعادلة س× (س+ 2)= 15 أو س 2+ 2 س- 15= صفر، يساعد الجبر على فهم الأحاجبي والتناقضات الظاهرية. فأي عدد مؤلف من ثلاثة أرقام، ويساوي الرقم الوسط فيه مجموع الرقمين الآخرين، هو عدد قابل للقسمة على 11. لماذا؟ يمكن الحصول على الجواب بواسطة الجبر. الحل في هذا الجدول اعداد مؤلفة من 3 أرقام. ولها جميعها خاصّتان مشتركتان: الأولى أن الرقم الأوسط يساوي حاصل جمع الرقمين الآخرين، الثانية أن هذه الاعداد جميعها قابلة للقسمة على 11. إذا مثّل س الرقم الأول و ص الرقم الثالث يكون الرقم الأوسط: (ص+ س) . وتكون قيمة العدد بكامله: 100 س+ 10 (س+ ص)+ ص أي 110س+ 11ص؛ يعطي اختزال العبارة وتحليلها إلى عواملها: 11 (10س+ ص) . وهي صيغة نهائية تطبّق على جميع الأعداد في الجدو ويظهر منها أن هذه الأعداد قابلة للقسمة على 11.
671-473-341-220-110
682-484-352-231-121
693-495-363-242-132
770-550-374-253-143
781-561-385-264-154
792-572-396-275-165
880-583-440-286-176
891-594-451-297-187
990-660-462-330-198

الجبر البُولي والجبر الافتراضي

جبر المجموعات معروف بالجبر البُولي نسبة إلى جورج بُول (1815 ـ 1864) الذي اسّس المنطق الحديث. هذا الجبر متشاكل (أي متناظر احادي) مع الجبر الافتراضي أي المنطق. يستعمل هذان النوعان من الجبر رموزاً مختلفة: ففي الأول: (؟) يعني اتحاد و(؟) يعني تقاطع؛ يقابل ذلك في الثاني: (؟) يعني «و»، (؟) يعني «أو». الجبر الافتراضي يحلّل مجموعات الاحتمالات المنطقية التي تكون فيها مختلف القضايا البسيطة أو المركبة صحيحة أو خاطئة.
يتم خلق نظام رياضي، عندما تطبّق عملية ثنائية واحدة أو أكثر على مجموعة من العناصر. العملية الثنائية هي التي تجمع عنصرين لتكوّن عنصراً ثالثاً من المجموعة الواحدة. من أكثر الأنظمة الرياضية نفعاً «الزُّمرة»؛ فهي تظهر في حالات مختلفة عدّة وتساعد على توحيد دراسة الرياضيات. نظرية الزمر وضعها ايفاريست غالوا (1811 ـ 1832) واعطاها فيما بعد أرثر كايلي (1821 ـ 1895) شكلاً منهجياً. يمكن توضيح مفهوم الزمرة بدراسة رقصة تشكيلية بسيطة (6)، حيث يغيّر أربعة راقصين مواقعهم (أو يبقون في اماكنهم) لتأليف تشكيلات مختلفة.
من الاختيارات الأربعة المتوفّرة لتحريك مستطيل (9)، تنتج مجموعة من أربعة تحوّلات. إذا اخذنا منها ازواجاً وطبّقنا عليها عملية «يتبع» السابقة، ينتج عنها جملة تحرّكات متناظرة أحادياً مع تلك التي وجدناها في المثل عن الرقص. يعرف هذان النوعان بالمتشاكلين. البحث عن التشاكلات هو بالحقيقة أساس دراسة الرياضيات.

الهندسة

نشأت الهندسة عن حاجة قدماء المصريين إلى مسح الأراضي الغائبة المعالم، للتمكّن بإنصاف من توزيع مساحاتها الخصبة المغطّاة بالوحل الذي يتركه الفيضان السنوي لنهر النيل. اخذ الأغارقة الهندسة عن المصريين وبنوا منها صرحا فكريا تامّا. فقد أنشأت «مبادىء الهندسة»، التي وضعها اقليدس حوالي 300 ق.م.، نظاماً بدهياً كاملاً هو نسيج متشابك من براهين تشتق جميعها من بعض البدهيات الأساسية. ظهرت «المبادىء» وكأنها تتحدى العقل بقولها: «إذا لم تستطع البرهان على أمر، فلا تقل انك تعرفه».
وفيما بعد طور علماء الرياضيات نظماً بديلة للهندسة رفضت فرضية إقليدس المتعلقة بالمستقيمات المتوازية. وقد أثبتت هذه الهندسات المخالفة لفرضية إقلديس (الهندسة اللاإقليدية) فائدتها - على سبيل المثال - في النظرية النسبية التي تعد واحدة من الإنجازات القيمة للتفكير العلمي.
وَتعرف الهندسة على أنها فرع من الرياضيات يُعنى بدراسة هيئات وأحجام ومواضع الأشكال الهندسية. وهذه الأشكال تشمل الأشكال المستوية كالمثلثات والمستطيلات والأشكال المجسَّمة (ثلاثية البعد مثل المكعبات والكرات).
تبرز أهمية الهندسة لأسباب عديدة. فالعالم يفيض بالأشكال الهندسية. وبما أن الأشكال الهندسية تحيط بنا من كل جانب لذلك سيكون فهمنا وتقديرنا لعالمنا أفضل لو تعلمنا شيئاً عن الهندسة.
للهندسة أيضاً تطبيقات عملية في مجالات عدة. فالمعماريون والنجَّارون يحتاجون لفهم خواص الأشكال الهندسية لتشييد مبانٍ آمنة وجذابة. كما يستخدم المصمِّمون والمهندسون المشتغلون بالمعادن والمصوِّرون مبادىء الهندسة في أداء أعمالهم.

علماء الهندسة المشهورون
أرخميدس
جاوس، كارل فريدريك فيثاغورث
إقليدس
ديكَارْت، رِينيه
الأشكال والإنشاءات الهندسية
الأسطوانة
السباعي
المثلث
الثماني الأوجه
السداسي
المجسم الأرخميدي
الجامد
السداسي السطوح
المربع
الجسم الكروي
الشكل المتعدد السطوح
المضلع
الخط المنحرف
القطاع الناقص
المعين
الخط الهندسي
القطر
المقطع الذهبي
خماسي الأضلاع
القطع المكافىء
المكعب
الدائرة
المتكررة الهندسية
المنشور
رباعي الأضلاع
متوازي الأضلاع
الهرم
الزاوية
المخروط

أنواع الهندسة

يشتمل مجال دراسة الهندسة على عدة طرق. فقد تكون الهندسة إقليدية أو لا إقليدية انطلاقاً من المسلمات نفسها التي تستخدمها الهندسة الإقليدية ولكنها توظف طرائق جبرية لدراسة الأشكال الهندسية. أما فروع الهندسة التي لا تستخدم أساليب الجبر فتسمى هندسات تركيبية.
ويمكن تقسيم الهندسة الإقليدية إلى هندسة مستوية وهندسة مجسمة. وتختص الهندسة المستوية (الهندسة المسطحة) بدراسة الأشكال ذات البعدين مثل المستقيمات والزوايا والمثلثات والأشكال الرباعية والدوائر. أما الهندسة المجسَّمة أو الفراغية فتتعلق بدراسة الأشكال ذات البُعْد الثلاثي.
وإحدى أهم مسلمات الهندسة الإقليدية هي مسلمة التوازي لإقليدس وتُعْرف أيضاً بمسلمة إقليدس الخامسة أو بديهية التوازي، وإحدى صياغاتها هي: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن رسم مستقيم واحد يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم.
الهندسة اللاإقليدية: هناك نوع أساسي من الهندسة اللاإقليدية يدعى الهندسة الزائدية، وفيها تستبدل بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم يمكن رسم أكثر من مستقيم يمر بتلك النقطة ويوازي المستقيم المعلوم.
وفي أحد نماذج الهندسة الزائدية يعرَّف المستوى على أنه مجموعة النقاط الواقعة داخل دائرة، ويعرف المستقيم على أنه وتر من الدائرة، وتعرف المستقيمات المتوازية على أنها المستقيمات التي لا تتقاطع. وتسمى الهندسة الزائدية أحياناً هندسة لوباتشيفسكي إذ إنها اكتشفت في بداية القرن التاسع عشر الميلادي بواسطة عالم الرياضيات الروسي نيكولاي لوباتشيفسكي. وهناك نوع أساسي آخر من الهندسة اللاإقليدية يدعى الهندسة الناقصية تستبدل فيها بمسلمة التوازي المسلمة التالية: من نقطة لا تقع على مستقيم معلوم لا يمكن رسم مستقيم لا يقاطع المستقيم المعلوم. بعبارة أخرى المستقيمات المتوازية لا وجود لها في الهندسة الناقصية.
وفي أحد نماذج الهندسة الناقصية نعرِّف المستقيم على أنه دائرة عظمى على الكرة، حيث الدائرة العظمى هي أي دائرة تنصف الكرة إلى جزأين متساويين. وكل الدوائر العظمى على الكرة تتقاطع. وتسمى الهندسة الناقصية، أيضاً، هندسة ريمان إذ إنها تطوَّرت في منتصف القرن التاسع عشر الميلادي على يد عالم الرياضيات الألماني جورج فريدريك برنارد ريمان.
الهندسة التحليلية: طريقة لدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية.
تستخدم الهندسة التحليلة نظاماً إحداثياً. يسمى النظام الديكارتي ويتكون من خطي أعداد متعامدين في المستوى. ويُحدَّد موقع النقاط في الأشكال الهندسية في المستوى بإعطائها إحداثيين (عددين)على خطي الأعداد س، ص. ويسمى س الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور س (خط الأعداد الأفقي) بينما يحدِّد ص ويسمى الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور ص (خط الأعداد الرأسي).

العرب والهندسة

لم يستطع أحد بعد إقليدس الذي دوّن علم الهندسة أن يزيد على هذا العلم شيئاً أساسياً. غير أن العرب لهم أفضال على الهندسة؛ إذ إنهم اهتموا بها حينما أهملتها الشعوب الأخرى ثم حفظوها من الضياع وناولوها الأوروبيين في زمن باكر.
برع العرب في قضايا الهندسة وشرحوها، فقد عرفوا تستطيح الكرة وألّفوا فيه ومارسوه فنقلوا الخرائط من سطح الكرة إلى السطح المستوي، ومن المسطح المستوي إلى السطح الكرويّ. ولقد كان اهتمام العرب بالناحية العملية من الهندسة أكثر من اهتمامهم بالناحية النظرية. ومن العلماء العرب الذين احتلوا منزلة كبيرة في الهندسة العالم العربي المسلم البيروني (ت440 هـ، 1048 م) ومن أشهر كتبه، كتاب استخراج الأوتار في الدائرة بخواص الخط المنحني فيها. كما استطاع غياث الدين الكاشي في القرن الخامس عشر الميلادي أن يستخرج نسبة محيط الدائرة إلى قطرها ويحسبها حساباً دقيقاً.
وممن اشتهر في علم المثلثات العالم العربي المسلم أبو عبد الله محمد بن جابر البتاني (ت317 هـ، 929 م). وهو أول من وضع جداول لظل التمام. وتبدو مكانة أبي الوفاء البوزجاني (ت388 هـ، 998 م) في المثلثات واضحة، فقد أوجد طريقة لحساب جداول الجيب، وكذلك عرف الصلات في المثلثات.

الاحتمالات والإحصاء

الاحتمالات دراسة رياضية لمدى احتمال وقوع حدث ما. ويستخدم لتحديد فرص إمكانياة وقوع حادث غير مؤكد الحدوث. فمثلاً, باستخدام الاحتمالات يمكن حساب فرص ظهور وجه القطعة في ثلاث رميت لقطع نقدية. أما الإحصاء فهو ذلك الفرع من الرياضيات الذي يهتم بجمع البيانات وتحليلها لمعرفة الأنماط والاتجاهات العامة. ويعتمد الإحصاء إلى حد كبير على الاحتمالات. وتزود الطرق الإحصائية الحكومات, والتجارة, والعلوم بالمعلومات. فمثلاً, يستخدم الفيزيائيون الإحصاء لدراسة سلوك العديد من الجزيئيات في عينة من الغاز.

نظريَّة المجموعات

نَظَرِيَّة المَجمُوعات: طريقة لحل مسائل الرياضيات والمنطق (أو الاستنباط). ودراستنا لنظرية المجموعات تزيد فهمنا لعلم الحساب وللرياضيات ككل. وتبحث نظرية المجموعات في صفات وعلاقات المجموعات.
وتعد نظرية المجموعات من الفروع الأساسية لعلم الرياضيات. والمجموعة تجمُّع من الأشياء المحسوسة أو الأفكار. فمثلاً كل صنف هو مجموعة من الأشياء المحسوسة، بينما مواد الدستور هي مجموعة من الأفكار. وتسمى الأشياء التي تشكل المجموعة عناصر أو أعضاء المجموعة. يستخدم علماء الرياضيات الحروف لتمييز المجموعات وعناصرها. فقد تستعمل حروف لتسمية المجموعات، بينما تستخدم حروف أخرى لتسمية عناصر المجموعات. والمجموعة تحدَّد عن طريق حصر عناصرها بين القوسين ؟؟.
ويمكن أيضاً تحديد مجموعة ما بدلالة خواصها. والخاصية مفهوم يربط عناصر المجموعة بعضها ببعض.

أنواع المجموعات:

وهناك عشرة أنواع رئيسية من المجموعات هي:
1 ـ المجموعات المنتهية 2 ـ المجموعات غير المنتهية.
3 ـ المجموعات الخالية 4 ـ المجموعات وحيدة العنصر.
5 ـ المجموعات المتكافئة 6 ـ المجموعات المتساوية.
7 ـ المجموعات المتداخلية 8 ـ المجموعات المنفصلة.
9 ـ المجموعات الشاملة 10 ـ المجموعات الجزئية.
المجموعات المنتهية: هي التي لها عدد محدود من العناصر.
المجموعات غير المنتهية: هي التي يكون عدد عناصرها غير محدود.
المجموعات الخالية: هي التي لا تحتحوي على أي عناصر.
المجموعات وحيدة العنصر: هي التي تحوي عنصراً واحداً فقط.
المجموعات المتكافئة: هي المجموعات التي لها نفس العدد من العناصر.
المجموعات المتساوية: هي التي لها نفس العناصر.
المجموعات المتداخلة: هي التي لها عناصر مشتركة فيما بينها.
المجموعات المنفصلة: هي التي لا تحتوي على أي عناصر مشتركة فيما بينها.
المجموعات الشاملة: هي المجموعات التي تحتوي على جميع العناصر تحت الاختبار في وقت ومسألة معينين.
المجموعات الجزئية: هي المتضمَّنة في مجموعات أخرى.
العمليات على المجموعات هناك ثلاث عمليات أساسية تستخدم في حل المسائل المتعلقة بالمجموعات:
1 ـ الاتحاد 2 ـ التقاطع 3 ـ المُتمِّمة.
اتحاد مجموعتين: هو المجموعة التي تتألف عناصرها من عناصر كلتا المجموعتين.
تقاطع مجموعتين: هو المجموعة المؤلفة من العناصر المشتركة بين المجموعتين.
مُتمِّمة مجموعة: هي مجموعة العناصر في س التي لا توجد في المجموعة ص.
فإذا كانت ص أي مجموعة جزئية من س فإن متممة صَ ص هي عناصر س التي لا توجد في ص.

لغةُ الأعدَاد

(1) ـ أنواع الأعداد ثلاثة: الحقيقيّة، الخاليّة، والمركّبة. يمكن تمثيل الأعداد الحقيقيّة.
(أ) بنقاط على خط يمتد من اللانهاية السالبة حتى اللانهاية الموجبة. وهي تتضمّن جميع الأعداد الموجبة والسالبة. الأعداد الخياليّة.
(ب) تعتمد على خ، وهو الجذر التربيعي للعدد ـ 1، وقد تكون أيضاً موجبة أو سالبة. تحتوي الأعداد المركّبة.
(ت) على جزء حقيقي وجزء خيالي. ويمكن تصويرها كنقاط محدّدة ببعدها عن خطّي الأعداد الحقيقيّة والأعداد الخياليّة. مثلاً: النقطة ف تمثّل العدد المركّب 4+ 3 خ، ق تمثّل ـ 3 ـ 5 خ. الأرقام المركّبة شائعة الاستعمال لدى العلماء.

الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة:
تُسمّى الأعداد الصحيحة مثل 1 و5 و212 صحيحة موجبة. وقد استعملت منذ أن بدأ الإنسان يعدّ. في القرون الوسطى ابتكر الهنود مفهوم الأعداد الصحيحة السالبة، وذلك للتعبير عن الديون في العمليّات التجاريّة.
اكتشف الرياضيون الهنود الصفر الذي يستعمل اليوم للدلالة على غياب العدد.
قام الرياضي الاغريقي ارخميدس (287 ـ 212 ق. م.) بدراسة مسألة وجود اعداد لامتناهية في الكبر.
فبرهن انّه لا حدّاً أعلى لنظام الأعداد، وان اللانهاية، بعكس الصفر، ليست عدداً، وانّه مهما بلغ كبر عدد ما، فهناك اعداد أكبر منه.
بمفهوميّ الصفر واللانهاية اكتمل لدى الإنسان نظام للأغداد يمكن تصويره بخطّ يحوي جميع الأعداد الحقيقية ممتداً منم اللانهاية السالبة إلى اللانهاية الموجبة. ثم جاء رياضيّون ايطاليّون في القرن السادس عشر وابتكروا كميّة «خياليّة» (خ) يعطي مربّعها النتيجة ـ 1. الأعداد التي تدخل فيها خ تُسمّى اعداداً خياليّة.

قواعِد الأعدَاد

العمليات الحسابية الرئيسية الأربع هي الجمع والطرح والضرب والقسمة.
يقوم الجمع على مبدأ الترابط، إذ يمكن اجراء جمع مجموعة أعداد بأي ترتيب دون أن تتغير النتيجة.
1+ 2+ 3= 6
أو
3+ 2+ 1= 6
أو
2+ 3+ 1= 6
يمكن تكرار عملية الطرح حسب أي ترتيب كان.
9- 3- 4= 2
9- 4- 3= 2
النتيجة هي واحدة في كلتا الحالتين.
الضرب عملية متكافئة مع عملية الجمع المتكرر. فكتابة: 7×5 مثلاً هي اختزال لكتابة: 7+ 7+ 7+ 7+ 7. يتعلم الناس جداول الضرب، لأنها أكثر سرعة من جمع أعمدة الأعداد. ليس باستطاعة الحاسبات الالكترونية والكومبيوتر القيام بعملية الضرب، رغم اشتهارها بالسرعة والدقة؛ وكل ما تقوم به إنما هو فقط اجراء عمليات جمع متتالية فائقة السرعة.
كما أن الطرح هو عكس الجمع، كذلك القسمة فهي عكس الضرب، أي كناية عن عمليات طرح متكررة.

تواريخ مهمة في الرياضيات

3000 ق .ماستخدم قدماء المصريين النظام العشري. وطوروا كذلك الهندسة وتقنيات مساحة الأراضي.
370 ق.معرف إيودكسس الكندوسي طريقة الاستنفاد, التي مهدت لحساب التكامل.
300 ق.مأنشأ إقليدس نظاماً هندسياً مستخدماً الاستنتاج المنطقي.
787 مظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية قبل أن تظهر في الكتب الهندية.
830 مأطلق العرب على علم الجبر هذا الاسم لأول مرة.
835 ماستخدم الخوارزمي مصطلح الأصم لأول مرة للإشارة لعدد الذي لا جذر له.
888 موضع الرياضيون العرب أولى لبنات الهندسة التحليلية بالاستعانة بالهندسة في حل المعادلات الجبرية.
912 ماستعمل البتاني الجيب بدلا من وتر ضعف القوس في قياس الزاويا لأول مرة.
1029 ماستغل الرياضيون العرب الهندسة المستوية والمجسمة في بحوث الضوء لأول مرة في التاريخ.
1142 مترجم أيلارد - من باث - من العربية الأجزاء الخمسة عشر من كتاب العناصر لأقليدس, ونتيجة لذلك أضحت أعمال أقليدس معروفة جيداً في أوروبا.
منتصف القرن الثاني عشر الميلادي.أدخل نظام الأعداد الهندية - العربية إلى أوروبا نتيجة لترجمة كتاب الخوارزمي في الحساب.
1252 ملفت نصير الدين الطوسي الانتباه - لأول مرة - لأخطاء أقليدس في المتوازيات.
1397 ماخترع غياث الدين الكاشي الكسور العشرية.
1465 موضع القلصادي أبو الحسن القرشي لأول مرة رموزاً لعلم الجبر بدلاً عن الكلمات.
1514 ماستخدم عالم الرياضيات الهولندي فاندر هوكي اشارتي الجمع (+) ةالطرح (-) لأول مرة في الصيغ الجبرية.
1533 مأسس عالم الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس, حساب المثلث كفرع مستقل عن الفلك.
1542 مألف جيرولامو كاردانو أول كتاب في الرياضيات الحديثة.
1557 مأدخل روبرت ركورد إشارة المساواة (=) في الرياضيات معتقد أنه لا يوجد شيئ يمكن ان يكون أكثر مساواة من زوج من الخطوط المتوازية.
1614 منشر جون نابيير اكتشافه في اللوغاريتمات, التي تساعد في تبسيط الحسابات.
1637 منشر رينيه ديكارت اكتشافه في الهندسة التحليلية, مقرراً أن الرياضيات هي النموذج الأمثل للتعليل.
منتصف العقد التاسع للقرن السابع عشر الميلادي.نشر كل من السير إسحق نيوتن وجوتفريد ولهلم ليبنتز بصورة مستقلة اكتشافاتهما في حساب التفاصيل والتكامل.
1717 مقام أبراهام شارب بحساب قيمة النسبة التقريبية حتى 72 منزلة عشرية.
1742 موضع كريستين جولدباخ ما عرف بحدسية جولدباخ: وهو أن كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين. ولا تزال هذه الجملة مفتوحة لعلماء الرياضيات لإثبات صحتها أو خطئها.
1763 مأدخل جسبارت مونيي الهندسة الوصفية وقد كان حتى عام 1795 م يعمل في الاستخبارات العسكرية الفرنسية.
بداية القرن التاسع عشر الميلادي.عمل علماء الرياضيات كارل فريدريك جوس ويانوس بولياي, نقولا لوباشيفسكي, وبشكل مستقل على تطوير هندسات لا إقليدية.
بداية العقد الثالث من القرن التاسع عشر.بدأ تشارلز بباج في تطوير الألات الحاسبة.
1822 مأدخل جين بابتست فورييه تحليل فورييه.
1829 مأخل إفاريست جالوا نظرية الزمر.
1854 منشر جورج بولي نظامه في المنطق الرمزي.
1881 مأدخل جوشياه ويلارد جبس تحليل المتجهات في ثلاثة أبعاد.
أواخر القرن التاسع عشر الميلادي.طور جورج كانتور نظرية المجموعات والنظرية الرياضية للمالانهاية.
1908 مطور إرنست زيرميلو طريقة المسلمات لنظرية المجموعات مستخدماً عبارتين غير معروفتين وسبع مسلمات.
1910 - 1913 منشر ألفرد نورث وايتهيد وبرتراند رسل كتابهما مبادئ الرياضيات وجادلا فبه أن كل الفرضيات الرياضية يمكن استنباطها من عدد قليل من المسلمات.
1912 مبدأ ل. ي. ج. برلور الحركة الحدسية في الرياضيات باعتبار الأعداد الطبيعية الأساس في البنية الرياضية التي يمكن إدراكها حدسياً.
1921 منشر إيمي نوذر طريقة المسلمات للجبر.
بداية الثلاثينيات من القرن العشرين الميلادي.أثبت كورت جودل ان أي نظام من المسلملت يحوي جملاً لا يمكن إثباتها.
1937 مقدم ألان تورنج وصفا لـ "آلة تورنج" وهي حاسوب آلي تخيلي يمكن أن يقوم بحل جميع المسائل ذات الصبغة الحسابية.
مع نهاية الخمسينيات وعام 1960 مدخلت الرياضيات الحديثة إلى المدارس في عدة دول.
1974 مطور روجر بنروز تبليطة مكونة من نوعين من المعينات غير متكررة الأنماط. واكتشف فيما بعد أن هذه التبليطات التي تدعي تبليطات بنروز تعكس بنية نوع جديد من المادة المتبلورة وشبه المتبلورة.
سبعينيات القرن العشرينظهرت الحواسيب المبنية على أسس رياضية, واستخدمت في التجارة والصناعة والعلوم.
1980 مبحث عدد من علماء الرياضيات المنحنيات الفراكتلية, وهي بنية يمكن استخدامها لتمثيل الظاهرة الهيولية.

الهندسة الحديثة

يمكن إرجاع بدايات الهندسة الحديثة إلى القرن السابع عشر الميلادي، ففي ذلك الوقت ازداد الاتصال بين علماء الرياضيات عما كان عليه في أي وقت منذ أفلاطون، وشرع الفرنسيان رينيه ديكارت وبيير دوفيرما في العمل فيما صار يعرف لاحقاً بالهندسة التحليلية. تربط الهندسة التحليلية بين الجبر والهندسة, فهي تعطي تمثيلاً لمعادلة جبرية بخط مستقيم أو منحنٍ. وتجعل من الممكن التعبير عن منحنيات عدة بمعادلات جبرية, ومثال على ذلك: فإن المعادلة 2س = ص تصف منحنى يسمى القطع المكافئ.
ولقد أوضح ديكارت مبادىء الهندسة التحليلية في كتابه الهندسة عام 1637 م، بينما كان مدخل فيرما للهندسة أقرب للهندسة التحليلية الحديثة. وبما أن فيرما لم يقم بنشر أعماله فإن معظم الناس يُرجعون الفضل إلى ديكارت في اكتشاف الهندسة التحليلية.
نهوض الهندسة اللاإقليدية: في مطلع القرن التاسع عشر الميلادي، اكتشد كل من الألماني كارل فريدرك جاوس والمجري يانوس بولياي والروسي نيكولاي لوباتشيفسكي الهندسة اللاإقليدية كلُّ بصورة مستقلة عن الآخر. ففي محاولاتهم لإثبات مسلمة التوازي لإقليدس؛ توصُّل كل منهم لعدم إمكانية تقديم برهان لها. وقدَّم كل واحد منهم الهندسة الزائدية كأول نموذج لهندسة لاإقليدية. وكثيراً ما يُنسب فضل اكتشاف الهندسة الزائدية إلى لوباتشيفسكي نسبة لأبحاثه المنشورة وبخاصة مقالته حول أسس الهندسة (1829 م).
ولقد ظلت الهندسة اللاإقليدية خارج إطار الهندسة التقليدية حتى منتصف القرن التاسع عشر الميلادي. ففي ذلك الحين بدأ جورج فريدريك برنارد ريمان معالجة الهندسة اللاإقليدية. وفي محاضرة له عام 1854، ناقش ريمان فكرة النظر إلى الهندسة على أنها دراسة أشياء غير معينة لأي عدد من الأبعاد في أي عدد من الفضاءات. وقد جعلت نظرته للهندسة دراسة عامة للفضاءات المنحنية نظرية النسبية لأينشتاني أمراً ممكناً.
قادت الاكتشافات الرياضية في القرن التاسع عشر الميلادي إلى تطوير مداخل أخرى إلى الهندسة، منها هندسة التحويلات التي تبحث في خصائص الأشكال الهندسية التي تظل ثابتة عندما تتعرض الأشكال إلى تحويلات معيَّنة (تغيير في الموضع). ويُعني أحد ضروب هندسة التحويلات ويسمى الطوبولوجيا، بدراسة الخصائص الهندسية التي لا تتغير عند تشويه الأشكال أثناء تعرُّضها إلى عمليات الثنيْ أو المطِّ أو القولبة. وتستأثر هندسات التحويلات بحيز كبير من النشاط البحثي في الرياضيات.

النظام العشري

طريقةٌ لكتابة الأعداد، إذ يمكن كتابة أي عدد، سواء كان عدداً متناهي الضخامة أو كسراً بالغ الضآلة، في النظام العشري باستخدام عشرة رموز أساسية فقط هي 1، 2، 3، 4، 5، 6د 7، 8، 9، 0، وتعتمد قيمة أي رمز من هذه الرموز العشرة على خانته في العدد المكتوب. فلرمز 28 مثلاً قيمتان مختلفتان تماماً في العددين 482 و835، لأن الرمز 8 يقع في خانتين مختلفتين في هذين العددين. ونظراً لأن قيمة الرمز تعتمد على المكان الذي يشغله في أي عدد، فإن النظام العشري يسمى نظام قيمة الخانة.
يُسَمّى النظام العشري كذلك بالنظام العربي الهندي، إذ تم تطوير هذا النظام على يد علماء الرياضيات الهنود قبل أكثر من ألفي سنة، وقد تعلم العرب هذا النظام بعد فتحهم لأجزاء من الهند في القرن الثامن الميلادي، وتبنوه ونشروا استخدامه على نطاق واسع في الدولة العربية الإسلامية بما فيها البلاد العربية في آسيا إفريقيا وفي أسبانيا.
ويمكن التعبير عن الأعداد الكبيرة بسهولة في النظام العشري عن طريق استخدام الأسّ أو ما يسمى كذلك بالدليل أو القوة. والأس هو رمز يكتب فوق العدد وإلى اليسار منه قليلاً، ويدل على عدد مرّات ضرب العدد في نفسه. ففي الشكل 106 على سبيل المثال يشير الأس6 إلى أنه ينبغي ضرب ست عشرات في بعضها بعضاً ـ أي ضرب العدد عشرة في نفسه ست مرات ـ ويُقرأ الشكل 106 كما يلي:
عشرة للقوة أو عشرة أس ستة.

المربعات والجذور التربيعية

مربّع العدد هو العدد الناتج عن ضرب العدد بنفسه (مساحة المربع هي حاصل ضرب طول الضلع بنفسه) . مربع 5، ويكتب 2، يساوي 52. العملية المعكوسة هي أخذ الجذر التربيعي لعدد معيّن، أي إيجاد العدد الذي إذا ضرب بنفسه يعطي هذا العدد المعيّن، إن مربَّع عدد صحيح يعطي عدداً صحيحاً، إلا أن الجذر التربيعي لعدد صحيح كثيراً ما لا يكون عدداً صحيحاً. فمثلاً الجذر التربيعي لـ2 يقع ما بين 1,4142 و1,4143. فالجذر التربيعي للرقم 2 لا يمكن تحديده بدقة، لذلك يسمى «عدداً أصمّاً».

المجموعَات وَالزُمر

كان جورج كانتور (1845 ـ 1918) أول من قام بدراسة نظرية المجموعات الرياضية، ثم جاء بعده ارنست زرميلو (1871 ـ 1956) فنظم هذه النظرية.
فكرة المجموعة هي حجر الزاوية في الرياضيات. فهي جملة من الأشياء لها وصف أو تعريف مشترك تدرج في اطار واحد، كما هي الحال مثلاً في تعريف المحيطات بالقول: هي الهادى، الأطلسي، الهندي، المتجمد الشمالي، المتجمد الجنوبي. هذا النوع من المجموعات يكوّن مجموعة متناهية، لأن عدد وحداته متناه ومعروف، وهو خمسة في هذا المثل. أما مجموعة الأعداد المستعملة للعدّ (مثل 1 و2 و3... الخ)، ويرمز إليها بحرف (ع)، فهي غير متناهية، لأنه ليس بامكاننا معرفة عدد وحداتها.
مجموعة الأعداد الطبيعية يرمز إليها بحرف ز+ = (1، 2، 3، ...)، ووحداتها هي العناصر ذاتها الموجودة في مجموعة أرقام العدّ؛ لذلك نقول أن المجموعتين ع و ز+ متساويتان. لكن إذا تعادل عدد العناصر فقط في مجموعتين، نقول انهما متكافئتان: فالمجموعة (أزرق، اخضر، أصفر، برتقالي، أحمر) متكافئة مع مجموعة المحيطات، لأن لكل منهما خمسة عناصر.
يمكن فهم لغة المجموعات بدراسة مثل خاص. فالمجموعة العامة، أي مجموعة جميع العناصر موضوع البحث، يمكن تقسيمها إلى ما يسمّى مجموعتين فرعيتين، منفصلتين، غير متراكبتين. إذا لم يكن ثمة أكثر من مجموعتين من هذا الصنف، تسمّى احداهما «متمّمة» للاخرى. أما مجموعة الفيلة العائشة في القطب الشمالي، فهي مثل عن المجموعة المسمّاة «الفارغة» أو «المجموعة الصفر»، لأنها لا تحتوي على وحدات قط. تكتب المجموعة الصفر بالرمز ئ مثلاً لا يوجد تقاطع بين المجموعتين أو و ب أو بين ج و د، لذلك فالتقاطع يعادل ئ. ان مفاهيم «التقسيم»، «المتمّم»، «التقاطع»، «الاتحاد» هي اساسية في عملية تصنيف المعلومات.
عن الشبكات /2) ينشأ حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين. يتم ذلك بايجاد جميع العناصر الممكن ترتيبها ازواجاً، وبأخذ عنصر واحد من كل مجموعة. كلمة ديكارتي هي نسبة لرينيه ديكارت (1596 ـ 1650) الذي روّج مبدأ الاحداثيات.

اللوغاريثمات

قام الرياضي السكوتلاندي جون نابير (1550 ـ 1617) بنشر كتابه «وصف قاعدة اللوغاريثمات العجيبة» عام 1614 فافتتح به عهد اللوغاريثمات.
استعمل نابير تسعة قضبان مربعة المقطع (أ) موضوعة على طبق. رقّم المقطع الأعلى منها من 1 إلى 9، وقسّم المقاطع السفلى من كل قضيب تقسيماً قطرياً، واضعاً عليها متواليات حسابية بالطريقة التالية: على القضيب المرقّم 1 اعداد تزداد بنسبة 1 (1، 2، 3، 4، الخ)، وعلى الثاني اعداد تزداد بنسة 2 (2، 4، 6، 8، الخ) وعلى الثالث اعداد تزداد بنسبة 3 (3، 6، 9، الخ) وهكذا حتى القضيب التاسع (9، 18، 27، 36، الخ) . وقد درّج الجوانب الثلاثة الأخرى لمقاطع القضبان بالطريقة عينها، بحيث اصبح كل عدد من 1 إلى 9 ممثّلاً في 4 مواضع في مكان ما من المجموعة. لايجاد مضاعفات عدد معيّن، مثلاً: مضاعفات 1572 تؤخذ القضبان 1، 5، 7، 2 من الطبق وتوضع جنباً إلى جنب في مكان آخر (ب) . لحساب 3× 1572 يؤخذ الصف الثالث من قطع القضيب كما في (ت)، ثم تجمع الأرقام قطرياً كما هو مبيّن لتعطي الحاصل المطلوب وهو 4716؛ ولضرب 8× 1572 تجرى العملية عينها باستخدام الصف الثامن كما في (ث)، فنحصل على 12576 وهو العدد الحاصل المطلوب أيضاً. وإذا اردنا الضرب بعدد أكبر (38 مثلاً)، يكفي أن نجمع الحواصل السابقة للضرب بـ3 وبـ8 أي 47160 (الذي أضفنا إليه صفراً لأننا نضرب الآن بـ30 لا بـ3) و12576، فنحصل على 59736.

الكسور والتناسُب والنُّسَب

ثلاثة أسباع، 3/7، تعني قسمة 3 على 7، وهي كسر. العدد الاسفل يُسمى المخرج، ويمثل عدد الأجزاء المنقسم اليها الشيء. العدد الأَعلى يُسمى الصورة، ويمثل العدد المعيّن من الأجزاء المأخوزة من المخرج.
أما جمع الكسور وطرحها، فهما أكثر تعقيداً. ينبغي أولاً تحويل جميع المخارج إلى ما يسمَّى بالقاسم المشترك الأدنى. ثم تجمع الصور أو تطرح حسب المطلوب. وتكون النتيجة كسراً مخرجة القاسم المشترك الأدنى. ثم يجرى تبسيط هذا الكسر إذا أمكن (4، 5، 6) .

الكسور العشرية

في النظام العشري، تقل قيمة الخانة بمقدار عشرة أضعاف كلما انتقلنا من خانة إلى أخرى على اليمين من خانة الآحاد. ففي الخانة الأولى على يمين خانة الآحاد ينقسم الواحد الصحيح إلى عشرة أقسام متساوية تُسَمّى الأعشار وفي الخانة الثانية إلى اليمين ينقسم كل عشر بدوره إلى عشرة أقسام متساوية. يسمى كل منها واحد من المائة وهكذا. وأسماء الخانات على اليمين من خانة الآحاد هي نفس أسماء الخانات المناظرة على اليسار مسبوقة بالكلمتين واحد من، مثلاً خانة واحد من عشرة، خانة واحد من مائة، واحد من ألف .. وهكذا.
جمع وطرح الأعداد العشرية: ولإمكان جمع وطرح أعداد ذات كسور عشرية، اكتب رقماً تحت الآخر بحيث تكون الفاصلة العشرية في الرقم السفلي تحت الفاصلة العشرية في الرقم العلوي، بغض النظر عما إذا كان أحد الرقمين أطول من اليسار أو اليمين من الرقم الآخر إذ يمكن وضع أصفار في الخانات التي لا توجد فيها أرقام. ثم اجمع واطرح الأرقام الواقعة في عمود واحد بعضها تحت بعض.
بشكل عام فعند ضرب أي عدد في كسر أقل من الواحد يتم إزاحة كل رقم في العدد إلى اليمين بعدد الخانات التي يكون فيها الكسر أصغر من الواحد الصحيح. ولهذا فالقاعدة عند ضرب أي عدد بعدد كسري هي إجراء عملية الضرب كالمعتاد، ثم جمع عدد الخانات الكسرية في كلا الرقمين، ويكون ناتج الجمع هو عدد الخانات الكسرية في حاصل الضرب.
وللقسمة على عدد يشمل خانات أصغر من الواحد (أي يشمل كسوراً عشرية) اكتب المقسوم والمقسوم عليه بصيغة القسمة المطولة.
75,6 1,08 حرك الفاصلة العشرية في العدد المقسوم عليه إلى أقصى اليمين، ثم حرك الفاصلة في العدد المقسوم إلى اليمين (بنفس عدد الخانات)، مع إضافة أصفار إذا استدعى الأمر زيادة عدد الخانات في العدد المقسوم. وبعد إجراء عملية القسمة كالمعتاد، تأكد من وضع فاصلة عشرية في ناتج القسمة فوق الفاصلة في العدد المقسوم.
الخطوة 1 الخطوة 2 الخطوة3
75,6 1,08 75,60 1,08 75,60 1,08
وهذه القاعدة صحيحة لأن كل ما عملناه حقيقة هو ضرب المسألة في 1 الأمر الذي لن يؤثر على النتيجة.
75,6 / 1,08 = 75,6 / 1,08 × 1 = 75,6 / 1,08 × 100 / 100 = 7560 / 108 = 70